Ajustement par la méthode de Mayer

D'après un sujet de bac.

On a relevé à un moment donné le taux de cholestérol (exprimé en grammes par litre de sang) et l’âge (en années) d’un échantillon de la population d’une région. Le tableau ci-dessous présente le taux moyen de cholestérol (en g/L) par tranche d’âge (en années).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Âge : } x_i&\text{25}&\text{35}&\text{45}&\text{55}&\text{65}&\text{75}\\ \hline \text{Taux moyen : }y_i & 1{,}82& 1{,}93& 1{,}98& 2{,}01& 2{,}09&2{,}14\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

1. Représenter par un nuage de points cette série statistique. On utilisera un repère orthogonal dans lequel les âges seront portés en abscisses (unité : \(2\) cm pour \(10\) ans) et les taux de cholestérol en ordonnées (unité graphique : \(5\) cm pour \(0{,}5\) g/L).

2. Le point moyen d'une série statistique à deux variables est une manière de représenter la « position centrale » ou « moyenne » des données dans un plan. Son abscisse est la moyenne des abscisses des points. Son ordonnée est la moyenne des ordonnées des points.
    a. On appelle \(\text{G}_1\) le point moyen des trois premiers points du nuage et \(\text{G}_2\) celui des trois derniers. Calculer les coordonnées de \(\text{G}_1\) et \(\text{G}_2\) et tracer la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\) sur le graphique.
    b. Déterminer graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles, le taux moyen de cholestérol d’un individu de \(15\) ans.

3. On veut déterminer l’équation de la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\) sous la forme \(y = mx + p\).
    a. Montrer que \(0{,}006\) et \(1{,}71\) sont respectivement des valeurs approchées de \(m\) et \(p\).
    b. Retrouver par le calcul le résultat obtenu à la question 2. b.

Remarque 
Cet ajustement correspond à la méthode de Mayer. Il s'appuie sur les tendances moyennes de la première partie et de la deuxième partie de la série statistique. Cela permet de lisser les données pour identifier des tendances sous-jacentes en réduisant l'impact des fluctuations irrégulières.